本文为西蒙・辛格《费马大定理》的书摘，共分上下两篇：
数学史上暗淡的一页
莱昂哈德・欧拉（Leonhard Euler） 1707 年生于瑞士巴塞尔，是基督教新教加尔文宗的牧师保罗・欧拉（Paul Euler）的儿子。莱昂哈德服从父亲的意愿在巴塞尔大学学习神学和希伯来语。幸运的是，巴塞尔城的伯努利（Bernoullis）家族的丹尼尔和尼古拉是莱昂哈德・欧拉的好友，他们向保罗・欧拉呼吁，请求他允许莱昂哈德放弃教士的职务而选择数学。老欧拉过去曾经向老伯努利（即雅各布・伯努利）学习过数学，对这个家族怀有特殊的敬意，便勉强地同意了。欧拉不久就离开瑞士，在俄国沙皇那里开始了他的专业生涯，随后应普鲁士的腓特烈大帝的邀请到了柏林科学院，最终他又回到俄国，当时正是俄国女皇叶卡捷琳娜二世统治期间，在那里他度过了最后的岁月。
欧拉最重要的成就之一是对理论计算方法的发展，欧拉的计算方法适合于处理那些看上去是不可能解决的问题。太阳、地球和月亮的轨道计算问题，就是所谓的「三体问题」，直到今天仍然不可能得到精确解。但欧拉发展了一种方法，可以得到一个不完全但充分准确的解。这种方法（算法）首先求出一个粗糙但尚能使用的结果，然后将它反馈回算法中再产生一个更为精细的结果。然后这个精细的结果再反馈回算法中产生一个更加准确的结果，如此反复进行，经过百次或更多的迭代以后，欧拉就能提供月球的位置，这个结果用于航海是足够准确的了。欧拉关于月球位置的计算是在他失明期间完成的。
柯尼斯堡桥游戏：普鲁士城市柯尼斯堡（Königsberg）现为俄罗斯的加里宁格勒市，这个城市建立在普雷格尔河边上，由 4 个分离的、被 7 座桥连接起来的地区组成，如下图所示：
问题是能否设计一次旅行，穿越所有的 7 座桥却无须重复走过任何一座桥？欧拉论证了这样的旅行是不可能的：为了进行一次成功的旅行（即通过所有的桥仅一次），一个点应该连接着偶数条线。这是因为在旅行中当旅行者通过一块陆地时，他必须沿一座桥进入，然后沿不同的桥离开，但有两个例外——开始或结束时。在旅行开始时，旅行者离开一块陆地，仅需一座桥给他离开；而在旅行结束时，旅行者到达一块陆地，也仅需一座桥给他进入。如果旅行开始和结束于不同的位置，那么这两块陆地可以允许有奇数座桥，但如果旅行开始和结束于同一个地方，那么这个点（与所有其他的点一样）必须有偶数座桥。总结来说：对于任何桥网络，如果所有的陆地块都有偶数座桥，或者恰好有两个陆地块有奇数座桥，那么才有可能越过每座桥仅一次的完全的旅行。在柯尼斯堡的情形中，4 块陆地都连接着奇数座桥，所以不可能穿越每一座仅一次。
欧拉进一步发现了一条所有的网络的基本定理，即所谓的网络公式：V + R - L = 1，其中 V 是网络中顶点（即交点）的个数，R 是网络中区域（即围成的部分）的个数，L 是网络中连线的个数。论证网络公式时，欧拉从最简单的网络即一个单一的点开始，V = 1，R = L = 0，公式显然成立。然后对这个单一的点扩充，就需要增加一条线。这条线可以将已有的顶点与自己连接，或者它可以将已有的顶点与另一个新的顶点连接。前一种情况：当增加一条线后，生成了一个新的区域，增加的区域抵消了增加的连线，网络公式仍然成立。以这种方式增加更多的连线也同样成立，因为每一条新的连线会制造一个新的区域。后一种情况：增加的线将原来的点与一个新的顶点连接，增加的顶点抵消了增加的连线，网络公式仍然成立。以这种方式增加更多的连线也同样成立，因为每一条新的连线会制造一个新的顶点。
在《算术》的另一个注记中，费马给出了费马大定理对于 4 次幂的证明，而欧拉在 1753 年给普鲁士数学家克里斯蒂安・哥德巴赫（Chritian Goldbach）的信中宣布，他采用费马的无穷递降法并引入虚数 i 的方法成功地证明了 3 次幂的情形。100 多年来，这是第一次有人针对费马的挑战成功地取得了进展。
根据让・勒隆・达朗贝尔（Jean le Rond d’Alembert）的建议，约瑟夫—路易・拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）接替欧拉成为腓特烈大帝宫廷中的数学家。欧拉回到了俄国，叶卡捷琳娜二世迎回了她的「数学的独眼巨人」。
质数理论是纯粹数学中已经在现实世界中找到直接应用的少数领域之一，它在密码学中有直接应用。具体请参考《密码故事（中）》关于 RSA 的说明。质数也出现在自然界中。在昆虫中十七年蝉的生命周期是最长的，另一种昆虫十三年蝉也暗示生命周期的年数为质数也许有着某种进化论意义上的优势。有种理论假设有一种生命周期也较长的寄生物，蝉要设法避开这种寄生物。由于没有数能整除 17，十七年蝉将很难得遇上它的寄生物。
索菲・热尔曼（Sophie Germain） 生于 1776 年 4 月 1 日，在她父亲的图书馆中偶然翻到让—艾蒂安・蒙图克拉（Jean-Etienne Montucla）的《数学的历史》（History of Mathematics）中关于阿基米德之死的情节：当罗马军队入侵时，阿基米德正全神贯注于研究沙堆中的一个几何图形，以致忽略了回答一个罗马士兵的问话，结果他被长矛戳死。热尔曼得到结论：如果一个人会如此痴迷于一个结果会导致他死亡的几何问题，那么数学必定是世界上最迷人的学科了。从此爱上了数学，开始时父亲反对她，并没收了她的蜡烛和衣服，但她坚定无比，最终父母动了怜悯之心，同意她继续学习，并资助她整个生涯的研究工作。1794 年，巴黎的综合工科学校诞生，但只接受男生，因此热尔曼冒名为已离开学校的男学生安托尼—奥古斯特・勒布朗（Antoine-August Le Blanc）先生而偷偷学习。两个月后，课程的指导教师拉格朗日发现了这个学生习题解答中表现出来的才华及前后的显著变化而要求这个学生来见他，于是热尔曼泄露了她的真实身份。拉格朗日感到震惊，并成为她的导师和朋友，激励着她继续前进。
热尔曼在费马大定理问题上研究了几年后，决定找德国数学家卡尔・弗里德里希・高斯（Carl Friedrich Gauss） 讨论，同样以「勒布朗先生」的名义。E. T. 贝尔称费马为「业余数学家之王」，而将高斯称为「数学家之王」。但高斯在给朋友的回信中却表示「费马大定理作为一个孤立的命题对我来说几乎没有什么兴趣」，或许高斯过去曾尝试过这个问题但失败了，他的回答只不过是智力上的酸葡萄的一个例子罢了。
热尔曼质数：使得 2p + 1 也是质数的质数 p 称为「热尔曼质数」。5 是热尔曼质数，因为 \(2 \times 5 + 1 = 11\) 也是质数；但 13 不是热尔曼质数，因为 \(2 \times 13 + 1 = 27\) 不是质数。对热尔曼质数 n，热尔曼使用一种巧妙的论证推得方程 \(x ^ n + y ^ n = z ^ n\) 大概不存在解。这里「大概」的意思，热尔曼指的是有解存在是不太可能的，因为如果有解存在，那么 x、y、z 中的一个将是 n 的倍数，而这就将对解加上非常严格的限制。她的同行们一个个地研究热尔曼质数，尝试证明 x、y 或 z 不可能是 n 的倍数，从而证明对 n 的哪些值不存在解。1825 年，两位年龄相差一代的数学家古斯塔夫・勒瑞纳—狄利克雷（Gustav Lejeune-Dirichlet）和阿德利昂—玛利埃・勒让德（Adrien-Marie Legendre）独立地证明了 n = 5 时不存在解，使热尔曼的方法第一次获得完满的成功。14 年后，法国人加布里尔・拉梅（Gabriel Lamé）证明了 n = 7 时不存在解。
1806 年拿破仑入侵普鲁士，热尔曼担心高斯重蹈阿基米德的命运，便写信给她的朋友也是当时正负责指挥前进中的军队的约瑟夫—玛利埃・帕尼提（Joseph-Marie Pernety）将军，请求他保证高斯的安全，结果这位将军对高斯给予了特别的照顾并解释是热尔曼小姐挽救了他的生命。在热尔曼给高斯的下一封信中，她勉强地透露了她的真实身份，高斯完全没有因受蒙骗而发怒，反而愉快地给她回信。1808 年，高斯被聘为格丁根大学的天文学教授，他的兴趣从数论转移到应用数学方面，由此中断了与热尔曼的书信来往。热尔曼因此放弃了纯粹数学，转战物理，其论文《弹性振动研究》奠定了现代弹性理论的基础。热尔曼荣获法国科学院的金质奖章，成了第一个不是以某个成员的夫人的身份出席科学院讲座的女性。后来，她恢复了与高斯的关系，高斯说服格丁根大学授予她名誉博士学位，但此前热尔曼已死于乳腺癌。
在索菲・热尔曼的突破性工作之后，法国科学院设计了一系列的奖，包括金质奖章和 3000 法郎的奖金，以奖励最终揭开费马大定理的神秘面纱的数学家。1847 年 3 月 1 日科学院的会议上，加布里尔・拉梅（曾证明 n = 7 的费马大定理无解）和另一位数学家奥古斯汀・路易斯・柯西（Augustin Louis Cauchy） 先后宣布自己差不多已证明了费马大定理，两人都在三个星期之后在科学院存放了盖章密封的信封，以保证自己研究工作的最先原创性和保密性。但在 5 月 24 日的科学院会议上，约瑟夫・刘维尔（Joseph Liouville）宣读了德国数学家恩斯特・库默尔（Ernst Kummer） 的信，指出柯西和拉梅的证明借助于使用数的「唯一因子分解」性质对于虚数是不成立的，且有无穷的所谓「非规则质数」使用现有的数学是无法一下子攻克的。拉梅首先泄了气，但柯西则拒绝承认失败，他认为自己的方法对唯一因子分解的依赖程度较轻，且库默尔的分析在被完全核对之前仍存在有缺陷的可能性。在几个星期中他继续发表有关这个题材的文章，但到夏季结束的时候他也变得安静了。
对于实数来说，只有一种可能的质数组合，称为数的「唯一因子分解」性质，是公元 4 世纪时欧几里得发现的，他证明了这个性质对一切自然数成立。这一性质现在称为「算术基本定理」。例如：
- \(18 = 2 \times 3 \times 3\)
- \(35 = 5 \times 7\)
- \(180 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5\)
- \(106260 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 \times 23\)
但如果不限于实数的情形，12 除了 \(2 \times 2 \times 3\) 之外，还可以分解成下列形式：
$$12 = (1 + \sqrt{-11}) \times (1 - \sqrt{-11})$$
点猜想：不可能画出一个点图使得每条直线上至少有 3 个点（所有的点都在同一条直线上的图形除外）。
首先考虑任意的由点和将每个点连接起的直线组成的图。然后，对每个点作出它到最近的线之间的距离，通过它的直线不算在内。由此，确定所有的点中离直线最近的那个点，如下图的点 D，它到直线 L 的距离（用短划虚线表示）比任何别的直线与点之间的距离都短。
现在可以证明直线 L 上只能有 2 个点。如果 L 上有第 3 个点 \(D_A\) 位于原来标出的 2 个点之外，那么以点虚线表示的距离将比假定是点和直线之间最短距离的短划虚线还要短，因而点 \(D_A\) 不可能存在。
类似地，如果 L 上有第 3 个点 \(D_B\) 位于原来标出的 2 个点之间，那么以点虚线表示的距离同样比假定是点和直线之间最短距离的短划虚线还要短，因而点 \(D_B\) 也不可能存在。
总而言之，由点构成的图形必然有某个点和某条直线之间的距离是最短距离，而这条直线上就只能有 2 个点，于是对每个图形总是至少有一条直线，上面只有 2 个点，猜想是对的。
进入抽象
达姆斯塔特（Darmstadt）的一位德国实业家保罗・沃尔夫斯凯尔（Paul Wolfskehl） 迷恋上一位漂亮女性，但却惨遭对方拒绝，这使他处于一种极端失望的境况以致决定自杀。他极其谨慎地计划他的死亡，包括每个细节，他定下自杀的日子，决定在午夜钟声响起时开枪射击自己的头部。在剩下的日子里，他仍然处理所有的重要商业事务。在最后一天，他写下遗嘱，并给他所有的亲朋好友写信。沃尔夫斯凯尔的高效率使得所有的事情略早于他午夜的时限就办完了。为了消磨这几个小时，他到图书室里翻阅数学书籍，不知不觉被库默尔的论文吸引，并发现其中似乎有一个逻辑上的漏洞。他全神贯注地论证直到黎明时分。结果是库默尔的证明被补救了，大定理依旧处于不可达的境界中，但规定的自杀时间已经过了，他对于自己发现库默尔工作中的一个漏洞感到无比骄傲，以致他的失望和悲伤都消失了。数学重新唤起了他对生命的欲望。
沃尔夫斯凯尔撕毁了他写好的告别信，重新立了遗嘱。在他 1908 年去世时，新的遗嘱指明他设立了一个奖，奖给第一个证明费马大定理的人 10 万马克，这是他对这个挽救过他生命的复杂难题的报答方式。奖项最长持续 100 年，到 2007 年 9 月 13 日尚未颁发此奖，则不再继续接受申请。值得注意的是，虽然委员会将授予第一个证明费马大定理成立的数学家 10 万马克，但他们对任何能证明它不成立的人则是一分钱也不给。
「14—15」游戏（15 puzzle）：美国的萨姆・洛伊德（Sam Loyd）创作的最著名的智力玩具，将编号从 1 到 15 的 15 块塑料片排列在一个 \(4 \times 4\) 的网格中（其中仅 14 和 15 的位置交换），游戏的目的是滑动这些塑料片，将它们重新排成正确的次序。
洛伊德能够证明他的「14—15」难题是不能解的。首先定义一个用来衡量游戏中无次序程度的量——错序参数 \(D_p\)。一个给定排列的错序参数等于次序错误的塑料片对的个数。所以，对正确的排列（下图 (a) 状态），\(D_p = 0\)。如果从次序正常的排列开始，将塑料片滑动调换，达到下图中 (b) 状态，次序错误的片对一共有：(12, 11)，(15, 13)，(15, 14)，(15, 11)，(13, 11) 和 (14, 11)，共 6 对，所以 \(D_p = 6\)。再做一些滑动，到达下图中 (c) 状态，可以算出 \(D_p = 12\)。上述三种状态的错序参数都是偶数。事实上，如果从正确的排列开始，对它进行重新排列，只要那个空着的方格在结束时位于右下角，那么不管滑动调换多少次，最后 \(D_p\) 总是偶数值。而洛伊德的「14—15」游戏中只有 14 和 15 被调换，所以它的错序参数 \(D_p = 1\)，是一个奇数值，因此不可能从正确的排列出发得到这种状态，反过来说，也不可能从洛伊德的排列返回到正确的排列。
在数学中，对于所述对象不管施行多少次变换仍然能保持成立的性质称为「不变性质」或「不变量」。在证明不可能将一个对象变换成另一个对象时，不变量为数学家提供了一种重要的策略。例如，当前活跃的一个领域涉及对扭结（knot） 的研究，扭结理论家自然对设法证明一个扭结是否能通过扭曲和打环但不切断的方法变换成另一个扭结的问题很感兴趣。为了回答这个问题，他们试图找出第一个扭结的一种不管做多少次扭曲和打环都不会被破坏的性质——扭结不变量。然后，对第二个扭结计算这个量。如果这两个值是不同的，那么结论就是将第一个扭结变换成第二个扭结必定是不可能的。在 20 世纪 20 年代库特・雷德马斯特（Kurt Reidemeister）发明这种方法之前，上述证明是无法做到的。换言之，在扭结不变量被发现之前，不可能证明易散结与方结、反手结或甚至根本没有结的环之间是根本不同的。
世界上每个数学研究部门大概都有存放业余数学爱好者送来的所谓证明的小木橱。大多数机构对这些业余证明不予理睬，也有一些收到者以极具想象力的方式处理它们。数学作家马丁・加德纳（又是马丁・加德纳）回想起一个朋友的做法：他回寄一张字条解释说他没有能力研究寄来的证明，作为替代，他向他们提供这个领域中能够帮助做这件事的一位专家的姓名和地址——也就是说，最近寄给他一份证明的业余爱好者的姓名和地址。加德纳则是这样答复：「我有一个很好的证明反驳你试图完成的证明，但不幸的是这张纸不够大，以致无法写下。」
三分律：每个数或者是负数或者是正数，要不就是零。
希尔伯特计划：由大卫・希尔伯特领导，从个数最少的公理出发，运用逻辑重新证明数学中的一切，并列出数学中未解决的最重要的 23 个问题。其结果最终是要证明数学体系中两个最重要的基本要求：
- 数学应该（至少在理论上）有能力回答每一个问题——这与对完全性的要求是相同的，这种要求在过去曾迫使数学家创造出像负数和虚数这样的数。
- 数学不应该有不相容性。如果用一种方法证明了某个命题是对的，那么就不可能用另一种方法证明这同一个命题是错的。
高特洛布・弗雷格（Gottlob Frege）是希尔伯特计划的主要人物之一，他的重大突破性工作之一是使用集合创造了数的一种定义。1902 年，也在为希尔伯特计划努力的英国逻辑学家伯特兰・罗素有了一个毁灭性的发现：悖论。经常用一个细心的图书管理员的故事来说明：图书管理员发现一套目录，其中对小说、参考书、诗集等都有单独的目录册，他还注意到有些目录册把自己也列在其中，而另一些目录册则不将自己列在其中。为了简化目录册体系，他制作了两本大的目录册，其中一本列出所有的将自己列在其中的目录册，另一本则列出所有不将自己列在其中的目录册。问题是：列出所有不将自己列在其中的目录册的那个大目录册是否应该在本身中列出？如果列出的话，那么按照定义，它不应该被列出。然而，如果不列出的话，那么按照定义，它应该被列出。图书管理员处于无论怎么做都不会对的情况。
这种不相容性是使用数学公理的直接结果，一种解决方法是，再添加一条公理，规定任何类不能是自身的一个成员。这条公理使得是否应列入由不将自己列在其中的目录册组成的目录册的问题成为多余，从而避免了罗素的悖论。
1931 年，库特・哥德尔在他的《〈数学原理〉及有关系统中的形式不可判定命题》中包含了所谓「不可判定性定理」：
- 第一不可判定性定理：如果公理集合论是相容的，那么存在既不能证明又不能否定的定理。
- 第二不可判定性定理：不存在能证明公理系统是相容的构造性过程。
虽然哥德尔的第二个定理说，不可能证明公理系统是相容的，但这并不一定意味着它们是不相容的。许多年以后，杰出的数论家安德烈・韦依（André Weil）说：「上帝之存在是因为数学是相容的，而魔王之存在是因为我们不能证明数学是相容的。」哥德尔提出如下的一个命题：
这个命题没有任何证明。
如果这个命题是假的，那么这个命题就会是可以证明的，但是这就与这个命题矛盾了，于是这个命题必须是真的才能避免这个矛盾。然而，虽然这个命题是真的，它却不能被证明，因为这命题（我们知道它是真的）是这样说的。由于哥德尔能将上面的命题转换成数学符号，他就能证明在数学中存在虽然是真的但却永不能证明它是真的的命题，即所谓的「不可判定命题」。这对希尔伯特计划是一个致命的打击。
平行于哥德尔工作的类似发现正在量子物理中出现。就在哥德尔发表他的关于不可判定性的工作成果之前 4 年，德国物理学家维尔纳・海森堡（Werner Heisenberg）揭示了「测不准原理」。正像数学家能证明的定理有一个基本的限度一样，海森堡证明了物理学家能测量的性质也有一个基本的限度。
1963 年，29 岁的保罗・科恩（Paul Cohen）成了发现具体的确实是不可判定的问题的第一人。科恩证明了希尔伯特提出的数学中最重要的 23 个问题之一——连续统假设是不可判定的。哥德尔的工作加上科恩给出的不可判定的命题，表明费马大定理可能是不可判定的。但奇怪的是，如果费马大定理结果是不可判定的，那么这将隐含它必定是对的。大定理说毕达哥拉斯三元组对于 n > 2 时没有整数解。如果大定理事实上是错的，那么就有可能通过确定一个解（一个反例）来证明这一点。于是，大定理将是可判定的。也就是说，是错的将与不可判定性不相容。然而，如果大定理是对的，这并不必须有一个明确的证明它是对的方法，也就是说，它可能是不可判定的。总而言之，费马大定理可能是对的，但是可能没有方法证明它。
欧拉猜想：欧拉声称方程 \(x ^ 4 + y ^ 4 + z ^ 4 = w ^ 4\) 不存在解。然而在 1988 年，哈佛大学的内奥姆・埃尔基斯（Naom Elkies）发现了这样的解： \(2682440^4 + 15365639^4 + 18796760^4 = 20615673^4\)，事实上，埃尔基斯证明了这个方程有无穷多个解。欧拉猜想是不正确的。
高估质数猜想：1791 年，当时刚满 14 岁的卡尔・高斯预言质数在数中的频率衰减的近似公式，这个公式相当准确，但总似乎稍稍高于真正的质数分布情形。对不大于 1 万亿的质数进行测试都显示高斯的公式高估了质数的个数，这强烈地诱使数学家们相信这种情形对直到无穷大的一切数都是对的，从而诞生了高估质数猜想。然而，1914 年 G. H. 哈代在剑桥的合作者李特伍德（J. E. Littlewood）证明了在充分大的数字范围内高斯的公式将会低估质数的个数。1955 年，斯奎斯（S. Skewes）显示这种低估在到达数字 \(10^{10^{10000000000000000000000000000000000}}\) 之前就会发生。哈代把斯奎斯的数称为「数学中迄今为止为确定的目的服务过的最大的数」。他计算过，如果一个人以宇宙中的全部粒子（\(10^{87}\)）作棋子来弈棋，这里走一步棋指交换任何两个粒子，那么可能的局数就大致等于斯奎斯的那个数。
1975 年安德鲁・怀尔斯开始他在剑桥大学的研究生生活，导师是澳大利亚人约翰・科茨（John Coates）。科茨决定怀尔斯应该研究数学中被称为椭圆曲线的领域。椭圆曲线是类似 \(y^2 = x^3 + ax^2 + bx + c\) 的任何方程，这里 a、b、c 是任何整数。研究椭圆方程的任务是指出它们是否有整数解，如果有解，要算出有多少个解。例如椭圆方程 \(y^2 = x^3 - 2, (a = 0, b = 0, c = -2)\) 只有一组整数解，即 \(5^2 = 3^3 - 2\)，即 25 = 27 - 2。证明这个椭圆方程只有一组整数解是非常困难的事情，事实上正是费马发现了这个证明，也就是第二章中费马证明 26 是宇宙中仅有的夹在一个平方数和一个立方数之间的数。这等价于证明上面的椭圆方程只有一个解，即 \(5^2\) 和 \(3^3\) 是仅有的相差 2 的平方数和立方数。
由于在无限个数的范围内无法列出一个椭圆方程的所有解，数学家们（包括怀尔斯）就改为在各种不同的时钟算术中求出解的个数。例如，对于某个给定的方程，在 5 格时钟算术中解的个数是 4，则记为 \(E_5 = 4\)，在 7 格时钟算术中解的个数是 9，即 \(E_7 = 9\)。把每个时钟算术中解的个数列成一张表，称为这个椭圆方程的 L-序列。这里 L 可能代表的是 Gustav Lejeune-Dirichlet（古斯塔夫・勒瑞纳—狄利克雷）中的字母 L，他研究过椭圆方程。本书中将使用术语「E-序列」。E-序列就像椭圆方程的 DNA，携带着椭圆方程的本质要素。
反证法
1954 年 1 月，东京大学的志村五郎（Goro Shimura） 与谷山村（Yutaka Taniyama） 因为在图书馆共同寻找一本《数学年刊》（Mathematische Annalen）第 24 卷而相识，并着迷于研究模形式（modular forms）。20 世纪的数论家艾希勒（Eichler）将模形式列为数学五种基本运算之一：加法、减法、乘法、除法和模形式。模形式的关键特点是具有非同寻常的对称性。20 世纪 70 年代，英国物理学家罗杰・彭罗斯（Roger Penrose） 使用风筝形砖和镖形砖在同一张平面上完成了既不留下空隙又没有重叠的铺设。风筝形砖和镖形砖可以有无限多种方式组合在一起，并且尽管每一种式样表面上是类似的，但在细微处它们却是不相同的。下图为其中一种式样：
彭罗斯的铺设结构的另一个引人注目的特点是，它们表现出非常有限程度的对称性，而模形式呈现的是无限的对称性，按无限多种方式平移、变换、反射和旋转而仍然保持不变，这使它们成为最对称的数学对象。模形式使用两根复合轴表示，每根复轴都有一个实的部分和一个虚的部分，第一根复轴用 \(x_r\) 轴（实轴）和 \(x_i\) 轴（虚轴）表示，第二根复轴用 \(y_r\) 轴（实轴）和 \(y_i\) 轴（虚轴）表示，因此模形式处于这个复空间的上半平面中，这是一个四维空间 \((x_r, x_i, y_r, y_i)\)，称为「双曲空间」。正是这比三维空间多出来的一维使得模形式具有如此众多的极好的对称性。画家莫里兹・埃歇（Maurits Escher）尝试在一些蚀刻画和油画中表达双曲空间的概念。
双曲空间中的模形式在外形和规模上是各种各样的，但每一个都是由相同的一些基本要素构造出来的。模形式的要素可以从 1 开始编号到无穷（\(M_1, M_2, M_3, M_4, …\)），因此一个特定的模形式包含的要素个数组成了这个模形式的 M-序列。正如 E-序列是椭圆方程的 DNA 一样，M-序列是模形式的 DNA。1955 年 9 月，一个国际学术讨论会在东京举办。谷山村和志村五郎提出「谷山—志村猜想」：每个模形式的 M-序列对应着某个椭圆方程的 E-序列。在两人有望将这一猜想推进到新的水平之前，1958 年 11 月 17 日，谷山村出于「对未来失去信心的心境」自杀了。几个星期后，他的未婚妻铃木美佐子也结束了自己的生命。20 世纪数论方面的一个领袖人物安德烈・韦依（André Weil）及时地采纳了谷山—志村猜想并使它在西方得到公认，因此这个猜想有时也称为「谷山—志村—韦依猜想」或者三人名字的任意排列组合。
20 世纪 60 年代，普林斯顿高等研究院的罗伯特・朗兰兹（Robert Langlands）由谷山—志村猜想提出朗兰兹纲领（Langlands programme）：在所有主要的数学课题之间存在连接的链环，并开始寻找这些统一的链环。几年之后，许多链环开始涌现，但对于如何证明朗兰兹的任何一个猜想还没有人有任何切实可行的想法。这个纲领中最强有力的猜想仍然是谷山—志村猜想。1984 年秋，德国黑森林州中部的一个小城奥伯沃尔法赫举行的一个讨论会上，来自萨尔布吕肯的格哈德・弗赖（Gerhard Frey） 提出如果有人能证明谷山—志村猜想，那么他们也立即能证明费马大定理。弗赖首先假设大定理是错的，即至少有一个解，用字母 A、B 和 C 表示，满足 \(A^N + B^N = C^N\)，经过复杂的演算，弗赖使具有这个假设解的费马方程变为 \(y^2 = x^3 + (A^N - B^N)x^2 - A^N B^N\)，这实际上是一个椭圆方程，但这个椭圆方程如此地古怪以至于它似乎不可能与一个模形式相关。但如果谷山—志村猜想是对的，那么每一个椭圆方程必定与一个模形式相关。于是，弗赖方程的存在就否定了谷山—志村猜想。由此，费马大定理的真实性将是谷山—志村猜想一经证明之后的直接结果。但弗赖并没有十分清楚地证明他的椭圆方程是足够古怪的。只有当某人能证明弗赖的椭圆方程有绝对的古怪性，那么谷山—志村猜想的证明才会隐含着费马大定理的证明。
1986 年夏天，加利福尼亚大学伯克利分校的教授肯・里贝特（Ken Ribet） 经过 18 个月的努力，在与他的同事巴里・梅休尔教授一起喝咖啡时得到对方的启示，里贝特已经证明了非常特殊的情形，只需再加上一些「M-结构的 γ-0」，便使得弗赖的推断完整而正确。
秘密的计算
1986 年夏天，当安德鲁・怀尔斯得知肯・里贝特已经证明了谷山—志村猜想与费马大定理之间的联系后，开始着手证明谷山—志村猜想，因为椭圆方程正是怀尔斯最拿手的领域。他花了 18 个月时间使自己熟悉以前曾被应用于椭圆方程或模形式的、以及从它们推导出来的全部数学。除了普林斯顿大学数学系的教学工作之外，他放弃了所有与证明费马大定理没有直接关系的工作，一回到家就躲进顶楼的书房，并决定完全独立和保密地进行研究。为了不引起怀疑，他将自己 80 年代早期关于特殊类型的椭圆方程的研究工作每隔 6 个月左右发表一篇小论文。经过一年的仔细思考，怀尔斯决定采用归纳法作为他证明的基础。最后，他发现他的归纳法证明的第一步隐藏于 19 世纪法国的一位悲剧性的天才人物埃瓦里斯特・伽罗瓦（Évariste Galois） 的工作之中。
埃瓦里斯特・伽罗瓦 1811 年 10 月 25 日生于巴黎正南方的一个小城雷纳堡。12 岁时进入他的第一所学校路易・勒格兰皇家中学，学校里共和主义者与僧侣之间的斗争点燃了他的共和主义倾向。16 岁开始第一门数学课程并严重偏科，对别的课程都不重视而单单专心致志于数学。他连续两年报考综合工科学校都因为口试时过于跳跃的逻辑却不愿做解释并显得无礼而未被录取，从此开始独立研究。他关于求解五次方程方法的研究得到柯西（即与拉梅关于费马大定理的证明发生争论的柯西）的赞许并督促他重新以专题论文的形式重新提交。在此期间，他作为雷纳堡市长的父亲因遭受新的耶稣会牧师的羞辱和非难而自杀，他回去参加父亲的葬礼并目睹了耶稣会与市长的支持者之间的冲突，进一步增加了对共和主义事业的热情。回到巴黎后，他将改写后的专题论文提交给科学院秘书约瑟夫・傅立叶（Joseph Fourier），但傅立叶在评审之前几个星期就去世了，因此伽罗瓦的论文没能参赛。后来伽罗瓦在共和主义斗争中因为威胁国王生命等罪名数次入狱。最后，他卷入一场与来自莫泰尔的神秘女性斯特凡妮—费利西安・波特林（Stéphanie-Félicie Poterine）的风流韵事而面临与她的未婚夫——法国最好的枪手佩舍・德埃比维尔（Pescheux d’Herbinville）进行一场决斗。伽罗瓦深知自己将在决斗中丧生，因此连夜将他的研究成果书写下来并寄给他的朋友奥古斯特・谢瓦利埃（Auguste Chevalier）。
直到 1846 年约瑟夫・刘维尔（Joseph Liouville）领悟到这些伽罗瓦的演算中迸发出的天才思想并花了几个月时间解释它的意义，最终发表在他的《纯粹与应用数学杂志》上。伽罗瓦将所有的五次方程分成两类：可解的和不可解的。对于可解的那类方程，他设计了寻找解的方法。此外，伽罗瓦探讨了高于五次的高次方程，并且能够判定它们中哪些是可解的。
伽罗瓦的演算中的核心部分是称为「群论」的思想。一个群中的任何两个元素用某种运算结合时，其结果仍是群中的一个元素。这个群被称为在该运算下是封闭的。以往的数学家的方法是先证明某一个椭圆方程的全部 E-序列可以与一个模形式的全部 M-序列相配，然后再转向下一个椭圆方程，而怀尔斯设法将所有的 E-序列和 M-序列的某一个元素配对，然后再转向下一个元素。而且，在怀尔斯的方法中，极为关键的是，E-序列中的元素确实有自然的次序，因而在证明了所有的第一个元素配对（\(E_1 = M_1\)）后，下一步显然就是证明所有的第二个元素配对（\(E_2 = M_2\)），依此类推。而这种自然的次序恰恰是怀尔斯为建立一个归纳法证明所需要的。
每一个椭圆方程的一小部分解可以用来构成一个群，经过几个月的分析，怀尔斯证明了这个群中每一个 E-序列的第一个元素确实可以和一个 M-序列的第一个元素配对，这就是归纳法的第一步，怀尔斯已经推倒第一块多米诺骨牌。他的归纳法证明的下一步要求他找到一个方法证明：如果 E-序列的任一个元素和该 M-序列的对应元素配对，那么下一个元素必定也可以配对。达到这个程度已经花去 2 年的时间。
1983 年，普林斯顿高等研究院的格尔德・法尔廷斯（Gerd Faltings） 通过研究费马大定理中不同的 n 值产生的方程与对应的几何形状的关系，发现这些几何形状的一个共同之处——都有刺破的洞。这些几何形状是四维的，相当像模形式，方程中的 n 值越大，对应的形状中洞越多。法尔廷斯证明了由于这些形状总是有一个以上的洞，相联系的费马方程只能有有限多个解，也就是说，法尔廷斯的证明排除了费马方程有无限多个解的可能性。1988 年 3 月 8 日，东京大学 38 岁的宫冈洋一（Yoichi Miyaoka） 宣称已经发现了费马大定理的解法，但未发表他的证明。宫冈洋一将法尔廷斯的证明推进了一步，假如他的几何猜想是正确的，那么费马方程解的个数将不仅仅是有限的，而只能是零。在宫冈公布他的详细证明的几个星期后，法尔廷斯找到了宫冈证明中的一个逻辑错误，导致其证明失败，其他众多数论家试图补救宫冈证明的努力也终告失败。
又经过几年的努力，即使是修改岩沢理论（Iwasawa theory）使之更强大以帮助自己证明费马大定理的尝试也失败之后，1991 年夏天，怀尔斯认定是重返交流圈以便了解最新的数学传闻的时候了。他参加了波士顿的一个关于椭圆方程的重要会议，在那里他遇到了他之前的导师约翰・科茨，科茨告诉他一个名叫马瑟斯・弗莱切（Matheus Flach）的学生正在使用科利瓦金（Kolyvagin）设计的方法分析椭圆方程。怀尔斯将科利瓦金—弗莱切方法进一步改进，使怀尔斯的论证从椭圆方程的第一项扩展到椭圆方程的所有各项，并且有可能它对每一个椭圆方程都有效。
不久，怀尔斯认识到所有的椭圆方程可以分类为不同的族。一旦科利瓦金—弗莱切方法经修改后对某个椭圆方程奏效，那就对那一族中所有的别的椭圆方程都奏效。而任务是要改造科利瓦金—弗莱切方法使得它对每一族都能奏效。1993 年 1 月，在这个证明的最后阶段，怀尔斯找到了同在普林斯顿大学数学系工作的尼克・凯兹（Nick Katz），并且为了掩人耳目，他以开设一系列研究生讲座的形式，将自己的整个论证过程讲解给尼克・凯兹听，让他帮忙检验论证的正确性。讲座结束时，尼克・凯兹的评价是科利瓦金—弗莱切方法似乎是完全可行的。于是怀尔斯专心致志于努力完成剩下的证明，到了 1993 年 5 月，他已完成了整个费马大定理的证明。之后，就是篇首描述的剑桥大学牛顿研究所的世纪演讲。
一点小麻烦
演讲结束后，怀尔斯将证明的完整手稿递交给《数学发明》并等待审稿。编辑巴里・梅休尔邀请了六位审稿人，将 200 页的证明分成 6 章，每位审稿人负责其中一章。第三章由尼克・凯兹负责审查，到了 8 月份，凯兹发现了一个重大的缺陷，是在与科利瓦金—弗莱切方法有关的论证的关键部分中的一个错误。
顶着外界舆论的压力，怀尔斯在尝试了几十种可能会巧妙地改正这个错误的办法之后，在同事彼得・萨纳克（Peter Sarnak）的暗示下，怀尔斯找到了剑桥大学的理查德・泰勒（Richard Taylor）到普林斯顿和他一起工作。泰勒是负责验证这个证明的审稿人之一，也是怀尔斯以前的学生，因此无疑可以得到信任。1994 年 4 月初，一封来自亨利・达蒙（Henri Darmon）的邮件指出哈佛大学的诺姆・埃尔基斯（1988 年证明欧拉猜想是错误的）已发现了费马大定理的一个反例，后来证明这是亨利・达蒙设计的愚人节恶作剧。到了 9 月，泰勒不顾怀尔斯的泄气，建议他们再坚持一个月，如果到 9 月底还没有找到能修补的方法，他们就放弃，公开承认他们的失败并发表那个有缺陷的证明，使其他人有机会研究它。
当泰勒重新探索和检验一些替换的方法时，怀尔斯决定在 9 月份最后一次检视科利瓦金—弗莱切方法的结构，试图确切地判断出它不能奏效的原因。9 月 19 日，怀尔斯完全出乎意料地发现，虽然科利瓦金—弗莱切方法现在不能完全行得通，但只需要它就可以使原先采用的岩沢理论奏效。单靠岩沢理论不足以解决问题，单靠科利瓦金—弗莱切方法也不足以解决问题，它们结合在一起却可以完美地互相补足。这不仅仅是圆了童年时代的梦想和 8 年潜心努力的终极，而且是怀尔斯在被推到屈服的边缘后奋起战斗向世界证明了他的才能。
大统一数学
在怀尔斯经受严峻考验的 8 年中，他实际上汇集了 20 世纪数论中所有的突破性工作，并把它们融合成一个万能的证明。通过谷山—志村猜想，怀尔斯将椭圆曲线和模形式统一了起来，这种做法为数学提供了实现许多别的证明的捷径——一个领域中的问题可以通过并行领域中的对应问题来解决。同时，怀尔斯使朗兰兹纲领跨出了第一步。1996 年 3 月，怀尔斯和朗兰兹分享了 10 万美元的沃尔夫奖（Wolf Prize，不要与沃尔夫斯凯尔奖混淆）。
除了费马大定理之外，世界上还有大量未解决的数学难题。包括「任何完满数都是偶数吗？」、「完满数的个数是无穷的吗？」等等。另一个含有大量的古代未解决问题的数学领域是质数理论。例如「孪生质数猜想」，孪生质数是一对相差 2 的质数，孪生质数猜想是说存在无穷多对孪生质数。1966 年，中国数学家陈景润证明了存在无穷多个质数和「殆质数」（almost prime）对。真正的质数是除了 1 和本身外没有别的因数，而殆质数是只有两个因数，如 21 是殆质数。陈景润证明了存在无穷多个数对，其中一个质数要么与另一个质数孪生，要么与另一个殆质数孪生。而哥德巴赫猜想是说每个偶数可以分解成两个质数之和。
费马大定理的最佳候选者是开普勒的球填装问题。由德国科学家约翰内斯・开普勒（Johannes Kepler）于 1611 年提出，他在探索了各种不同的排列之后，断言「面心立体格架」是使填装最为紧凑的方法，这种方法的填充效率是 74.04%。在近代，有些数学家尝试采用一种颇为不同的解题方针，就是对可能的填装效率设置一个上限。1958 年，英国的填装问题专家罗杰斯（C. A. Rogers）计算出一个上限为 77.97%。在罗杰斯之后，别的一些数学家试图通过把上限降低到 74.04% 的方法完全关闭这个窗口，这就使得任何别的排列方法没有超过面心立体格架的效率的余地，但直到 1988 年它只降到了 77.84%。
四色问题：1852 年业余数学家弗朗西斯・格斯里（Francis Guthrie）提出，为任何想象得到的地图着色，并使得任何两个有公共边界的区域的颜色都不相同，那么最少需要多少钟颜色？对此问题的研究促进了拓扑学的发展。拓扑学与几何学的不同之处在于，几何学研究的是对象的精确的外形和大小，拓扑学则仅仅关心对象的本质，即它最基本的特性。由于拓扑学认为正方形和圆的拓扑是等价的，正如在一张橡胶床单上将一个正方形拉伸得到圆，因此拓扑学常被称为「橡胶床单几何学」。1976 年，伊利诺伊大学的两位数学家沃尔夫冈・哈肯（Wolfgang Haken）和肯尼思・阿佩尔（Kenneth Appel）根据海因里希・希施（Heinrich Heesch）的无穷多的无限可变的地图可以由有限多个的有限地图构造出来的理论，将四色问题简化成 1482 种基本构形，并使用计算机发展出复杂的策略分析完成 1482 种地图构形所有可能的组合，其中没有一种地图需要多于 4 种的颜色，格斯里的四色问题终于被解决了。但传统的数学家认为这是一种不可信的核查方法，不能保证不存在由于计算机内部的某种突然的不规则运行而产生的逻辑错误。
怀尔斯借助 20 世纪的方法证明一个 17 世纪的难题，必然引出这样的结论：怀尔斯对费马大定理的证明与费马本人的证明是不相同的，在几世纪前费马并没有发明出模形式、谷山—志村猜想、伽罗瓦群和科利瓦金—弗莱切方法。因此有人认为费马当时的发现是一个有缺陷的证明，很可能与柯西或拉梅的工作十分相似，另一部分人则认为只要能找到仅使用 17 世纪的数学方法证明费马大定理，他们仍然可以获得声名和荣誉。
1997 年 6 月 27 日，安德鲁・怀尔斯收到了价值 5 万美元的沃尔夫斯凯尔奖金。费马大定理正式地被解决了。
以上。