printf 中的格式化字符串

printf 系列函数(另有 fprintfsprintfsnprintf 等)在输出时使用了强大的格式化字符串。格式化字符串以一个 % 开始,以类型字段(dxf 等)结束,完整格式如下(除了 % 和类型之外均为可选字段,注意精度之前有一个句点):

%[参数][标志][宽度][.精度][长度]类型

参数

参数字段为 POSIX 扩展功能,非 C99 标准定义。使用 m$ 指定格式化字符串之后的第 m 个参数,从 1 开始编号。假如使用了参数字段,则所有的参数必须都至少使用一次,即从 1$n$ 都必须至少出现一次(其中 n 为格式化字符串之后的参数个数),否则编译时将产生如下警告:

warning: missing $ operand number in format [-Wformat=]

借助参数字段,可以实现参数的多次使用、乱序使用等,而不需要重复书写参数。例如:printf("%2$d %2$#x; %1$d %1$#x",16,17) 将输出 17 0x11; 16 0x10,两个参数都使用了两次,且先使用第二个参数(同时也使用了下一节的 # 标志)。

标志

  • -: 左对齐(默认为右对齐)
  • +: 给正数附加符号前缀(默认为正数没有任何前缀)
  • (空格): 给正数附加空格前缀(默认为正数没有任何前缀)
  • 0: 指定了宽度字段(见下文)且为右对齐时,前缀补 0(默认补空格;当使用 - 标志指定了左对齐时,0 标志失效)
  • #: 使用「备选格式」。对于 gG 类型,不省略小数点部分最后的 0;对于 fFeEgG 类型,总是输出小数点;对于 oxX 类型,分别在非零数值前附加 00x0X 前缀。上一节的例子中就使用了 # 标志。

ping 包长度及 MTU

ping 命令是测试网络是否连通最常用的命令,而无论是 Windows 还是 Linux,ping 命令都可以指定包长度,这对于验证网络设备的 MTU 非常有帮助。

先来看看在不同的操作系统下如何指定 ping 包长度及其各自的含义。

Windows

Windows 的 ping 命令通过 -l 参数指定包长度:

ping 192.168.1.1 -l 1000

使用 Wireshark 抓包看看:

可以看到 Length 为 1042 字节,比指定的包长度多了 42 字节。注意到 ICMP data 的长度正好是 1000 字节,加上 ICMP header 8 字节,IP header 20 字节,Ethernet header 14 字节,正好是 1042 字节。

也就是说,ping 命令指定的是 ICMP payload 的长度(不包括 ICMP header)。ping 命令作为 ICMP 协议的具体实现,这样的设定也符合逻辑。

当不使用 -l 参数时,默认的包长(ICMP payload)是 32 字节。

新西兰银蕨签证申请记录

银蕨签证是新西兰引进海外年轻技术人才的一种方式,每年 300 个名额。申请成功后首先发放的是银蕨求职签证(Silver Fern Job Search Visa),申请人必须在签证发放后 6 个月内登陆新西兰,在首次登陆后的 9 个月内找到满足薪资要求的技能性工作,之后即可申请有效期两年的银蕨实践工签(Silver Fern Practical Experience Work Visa),也就是通常所说的「银蕨二期签证」。入职 3 个月后,即可着手申请永居(有说法是拿到银蕨二期签证后可立即开始申请)。具体请参考 Jack Liu 博客

很久以前就听说新西兰的银蕨签证,在了解到每年针对全球只有 300 个名额后,想着全球顶尖人才那么多,我肯定申请不到。直到看到天维网公众号的这篇文章的这句话:

不过值得注意的一点就是,移民局要求的申请材料,你不需要在申请前准备好,当你真的抢到了宝贵的名额,移民局会给你 3 个月的时间来准备材料。
根据不少过来人介绍,这个时间足够了,哪怕你连雅思成绩都没有

于是我决定试试。

Bose QC30 使用体验

从 6 月 1 日入手 Bose QC30 到今天正好一个月,写写这一个月来的使用体验吧。

入手前的心路历程

最早是在推特上看到 Bose 的降噪耳机,隐约知道 Bose 有两款蓝牙降噪耳机,一款挂脖一款大耳罩,后来才知道具体型号分别是 QC30 和 QC35。

机缘巧合的是,牟老师春节后住在我们家时,用的正是 QC30,而后她去香港找七喜玩,七喜在试用过后也赞不绝口。我虽然口口声声说着没有刚需,但买一个蓝牙降噪耳机的种子已默默在心里种下~还设想了几个可以用得上降噪耳机的场景,比如办公室有同事在哼歌、午睡时有人打呼噜、地铁公交上有人外放音乐等等。

四月,罗罗来深圳出差,也在我们家住了几天,带来了他的 QC35,我也借机试用了一把(同时第一次知道了 ASMR)。

基于以下几点原因,我没有选择 QC35:

  • 深圳夏天天气那么热,戴大耳罩肯定不舒服。
  • 我的头小,大耳罩容易掉下来,尤其是低头的时候。
  • 大耳罩太拉风了,不符合我低调的风格。
  • 大耳罩体积较大,便携性不如 QC30。

五月,七喜也入手了 QC30,还帮雪碧买了一个(她要送给李先森的),这下让我更心痒了,时不时地关注下京东淘宝是不是有优惠。对比了香港和内地的价格,发现京东 618 活动时 QC30 价格最低。在 5 月 31 号晚上就守在电脑前准备秒杀,期间还反复问菲菲:

「我买了哈?」
「我可以买吗?」
「要不要给妳也买一个?」

Telegram 专用代理服务器 MTProxy 搭建

近日,Telegram 在俄罗斯遭封锁事件催生了基于其自有加密协议 MTProto 的代理服务器 MTProxy,官方源码使用 C 语言编写,托管于 TelegramMessenger/MTProxy。我试着在自己的 VPS 上搭建了一个,虽然官方文档非常简陋,但还算顺利。

服务器端编译

首先在 VPS (Ubuntu 18.04) 上克隆服务器端源码:

$ cd ~/dev/
$ git clone https://github.com/TelegramMessenger/MTProxy.git
$ cd MTProxy

编译之前需要安装必要的工具链和开发库:

$ sudo apt install build-essential libssl-dev zlib1g-dev

然后在 MTProxy 源码的根目录下直接执行 make 即可,编译出的可执行文件是 objs/bin/mtproto-proxy

之前的 README.md 没有说明需要安装的库文件,make 时在链接阶段有如下错误:

/usr/bin/x86_64-linux-gnu-ld: cannot find -lz

就是因为没有安装 zlib1g-dev 导致的。

服务器端运行

为简化说明,直接在编译结果目录中操作:

$ cd objs/bin/

获取 AES 密钥用于连接 Telegram 服务器:

$ curl -s https://core.telegram.org/getProxySecret -o proxy-secret

雅思备考两个月首战 7.0

好吧,我承认有点标题党了。我考的是 G 类雅思,按照惯例,先报分数,第一场在深圳考的:

第二场在悉尼:

11 月 30 号才决定要考,目标是均分 6.5,无单项分要求。当天晚上报了 1 月 20 号的深圳场,前后不到两个月时间。在准备了半个月之后,担心自己考不过,同时结合原定去澳洲过春节的计划,又报了 2 月 10 号的悉尼场。因为 2 月 9 号才能到悉尼,同时 G 类考试可选择的场次不多,所以特地选了非 IDP 考场,可以在笔试当天下午考口语。

从成绩单来看,除了 G 类阅读较简单而分数较高外,其它几个单项分数都不高,能够首战就刚好踩线上 7 也完全得益于阅读。简单总结下各个单项我是如何备考以及两场考试的经历吧。

​澳洲进行曲: Week 2 of January, 2018

早上八点去 Costa 办公室登记并等候安排分工情况。男房东开车送我去的路上遇到一个顶着太阳独自步行且拥有亚洲面孔的女生,房东把车停在路边,让我去问下她是否也去 Costa 面试,如果是就顺带载一程。

结束登记后,房东接我回去的路上经过一个公交站台,由于办公室地点偏远,公交一小时一班。房东再次把车停在路边让我下车问下等车的三位女生是否需要回市区,如果愿意可以顺便载她们一程。

我这房东老人家真的太有意思了。

登记结果是周四去蓝莓农场的 Romeo 组上班。趁着接下来三天空闲时间,约了之前在墨尔本认识的 Yvonne 见面取经、去超市买工作服以及闲逛。

我是在 Yvonne 的建议下来塔斯采蓝莓的,她说:“你不要太担心,来到塔斯直接去办公室登记,现在爆果阶段,人手紧缺。”

在这里见到 Yvonne,我俩的头发都长长了。她说了关于树莓采摘的技巧和必需品,谈到那些有趣的小组成员,以及对毛毛虫的害怕和意外攒到钱的惊喜。

澳洲的 K-mart 像极了浓缩版宜家,只不过主要售卖生活用品而非家具。Coles 和 Woolworth 作为澳洲性价比最高的超市,各种商品轮换着店铺打折。现在这三家商品百货竟然相连在 Devonport 市中心,日常采购的一切需要在三五步之间都能满足了。

由于蓝莓采摘需要穿带领子的衣服以便给脖子防晒,加上这里早晚气温较低,我仅带了一条裤子,所以在 K-mart 新买了绿色抓绒衣裤和Polo衫,仅需 13 刀,只不过均采购于 12 岁男童服装区域,看来亚洲人之于澳洲人还是娇小得多。

闲时出门散步,从住处步行两公里到市中心,三公里到海边,走在两边都是独栋平方房的街道上,看着门前院落各自开合的花儿,高矮胖瘦的树枝,还有偶尔忘记被收进屋子里的桌椅,我都很想坐下来,在阳光里看书。

“离群索居”并非是个贬义词,而“独处”也越发成为考验意志和机会反刍的一种方法。每次从热闹的人群中离开,走进声音消退的环境中,偶尔有清脆的鸟叫,或者风声,我的第一感觉总是恍然的放松。在这一幕里,我是喜欢面积大小适宜的德文港。

第一天上班有点兴奋,以至于会在看到特大号蓝莓时摘下来给身边朋友炫耀。新鲜劲还没过就被通知接下来连休两天,因为下雨,室外蓝莓采摘工作无法进行。就这么自然过渡到“看天吃饭”的生活状态了。

周末和新朋友们开车两小时去看薰衣草花田,来自南美的女生浑身都是舞蹈细胞,对音乐的韵律感极强,让我很羡慕。来自高雄的男生刚结束在日本为期一年的打工度假,他介绍自己特别爱结交新朋友,喜欢和不同人聊天以及去看不同的地方,以后的愿望便是走遍世界。

这片薰衣草庄园占地260英亩,是全球最大的私营薰衣草农场,门票10刀,如果有当地工作收入证明可以免门票。这片庄园始建于 1922 年,拥有者为 Charles Denny,后由他的儿子 Tim Denny 扩大经营。薰衣草庄园的全称为“Bridestowe Lavender Estate”,是为了纪念 Charles 妻子的出生地,位于英国的小镇 Bridestowe。薰衣草盛开于夏季,结束于一月末。如果想去参观,请注意日期哦。

Bridestowe Lavender Estate is a lavender farm located in Nabowla, Tasmania, Australia.[1] The farm is believed to be the largest commercial plantation of Lavandula angustifolia in the world.[2] Bridestowe was established in 1922 by Charles Denny,[3] and advanced by his son, Tim Denny [4] It is named in honour of the birthplace of Charles Denny’s wife, the English town of Bridestowe.

你问我薰衣草好看吗?其实我不喜欢紫色,无论花田正当时还是目前繁荣过后的温吞景色,我都不感兴趣。只是出门吹风会比宅在屋子里更好,另外一路上穿过云雨,风音在耳,加上视野两边不断出没的奶牛、绵羊甚至不同颜色的羊驼,总算没有辜负这片独立岛屿的特别景色。

​澳洲进行曲: Week 1 of January, 2018

一月的星期很容易记,因为一号即星期一。

回顾才知道第一周自己从曼谷出发经新加坡转机到悉尼,继续由悉尼转机抵达塔斯马尼亚第二大城市 Launceston,接着买了下午一点半的客车去往 Devonport,才算落定脚跟。

元旦当晚去廊曼机场送 Philip 回深圳,就像我来时一样,BTS 转机场公交,在Magic Food 吃完简餐,自助办理登机手续(因为只背了双肩包,无行李托运)后看着他入海关。

第二日跟着“群众路线”逛了一圈曼谷大皇宫,这座占地约21万平米的建筑群始建于 1782 年,但在 1946 年皇室在宫中被刺后,遂搬离此处。

泰国最著名的玉佛寺便坐落于此,其中玉佛殿供奉着国宝级玉佛像,高 66 厘米,宽 46 厘米,由一整块碧玉雕刻而成。根据导游介绍,泰国一年三个季节,味雨季、夏季和凉季。每当季节变换时,国王会亲自帮玉佛换上当季服装,每套服装价值均超过百万。

查攻略时注意到当地对参观大皇宫的着装要求较严,所以早上出发前提醒小伙伴换下了破洞牛仔裤。

前来参观大皇宫的游客络绎不绝(我很想用一个新词形容),本国人免费进入,外国人需支付门票 500 泰铢。

大皇宫确实恢弘,更神奇的是离开大皇宫的庇荫,立刻感受当下炎热的气温。逛到午后,吃完饭和甜点,一致决定回去休息,晚饭时去考山路夜市图新鲜。

这里要给出的划重点 Tips 是:

1)大皇宫的门票还包括可以免费参观柚木宫,这是一座完成于 1901 年的建筑,全柚木打造,未使用一枚钉子,主要展示拉玛五世皇的欧洲收藏品。

2)大皇宫附近有国家博物馆(National Museum)和暹罗博物馆(Museum of Siam),如果时间充裕,兴趣有余,可以安排同一时间参观。

集体出门习惯了搭乘具有曼谷特色自由驰骋的突突车(类似国内三轮车),最多能载五人,速度赶超小轿车,兼容多道路行驶,风一样的体验。

考山路及其附近夜市大概由三条主干道组成,越夜越热闹。刘工总是大胆尝新第一人,请人耗时三小时编了一头“盖世无双”的脏辫,回国后无疑会夺目一周。我站在路口,举着手机用延时拍下了来往的车辆和进出的人群,红黄蓝绿的灯光像眼睛一样眨个不停却也不知疲倦。使用中英文混杂语言的摊贩总在精力十足地揽客;一波波短袖或长裙混及街道,寻找新鲜热闹和烟火食物;对街开放式酒吧里的音乐各自为阵也杂糅碰撞,人群中突然有人跳起舞来,接着带动一整片的躯体扭动起来。

我不认识你,但一起来玩啊!

尽管回到住处已近深夜,次日清晨我依然起了个大早去博物馆和艺术中心闲逛。

幸运之一是当天为博物馆最后一天免费开放,幸运之二是遇到日本和印度文化特展,再次看到印刷版画《富士三十六景》的部分内容,甚至还模拟了印刷版画步骤,在现场印了一张丑丑的却是日本画家北斎最著名的海浪图。

http://bangkokforvisitors.com/ratanakosin/national-museum/index.php

博物馆还包括拜神殿、红房子和陈列总统出游的金碧辉煌座椅。我目前在网上能找到关于这家博物馆最全的介绍便是这个非官方出品的链接了。

博物馆出口不远处是高架入口,我站在马路边再次端着手机延时拍摄来往的车辆,疾驰着黑突突的摩托车,无门无窗但红色复古的公交车,穿插经过眼前的高档轿车和旅游大巴像在无形中竞技一般,无论是否鸣笛,城市都已经醒了。

下午去位于暹罗广场附近的曼谷文化艺术中心闲逛,看完八楼和九楼稍显奇怪的摄影展,保留了单薄的疑惑,直至重新转回入口处才发现遗漏了一个重要信息,即这两层楼的摄影展作品分别出自泰国公主和国王之手。啊,那还是不予置评好了。

写到这里我才意识到曼谷七天行的视频还没有剪辑出来。遂花了一小时剪出了人物聚会篇,还凑合。

链接如下:http://onetake.dafork.com/static/photos/0zl496p.html

如果你有“一闪”App 的话,可以关注“葉師傅”搜到这个视频。

曼谷行在 3 号深夜画上一个圈,等我上飞机前收到 Lily 短信,她说我收拾行李太匆忙,落下了洗面奶、防蚊液、手提包、睡裤以及其他……等她回国打包寄回深圳。

4 号清晨在新加坡机场闲逛,晚上落地悉尼机场 T1 国际航站楼,搭乘最后一班地铁到 T3 国内航站楼时发现机场大门已关闭,心中无数个白眼赠给这个城市,原来悉尼机场凌晨 00:00-04:00 是关闭不给进出的!无奈只好和偶遇的东北女生坐在机场门口的长凳上侃“人生”。

等到天亮机场大门开启后第一时间买了早餐吞下肚,接着整装安检坐第一班机从悉尼飞塔斯的 Launceston。

在这个小镇逗留的三小时里,我吃到一份另胃口异常满足的 Brunch,它是由焦黄Bagel、咸香培根、溏心煎蛋配番茄黄豆酱组成。

暖了胃才有动力赶路。跟着大巴车晃悠悠来到我在塔斯马尼亚的第二站—Devonport。

我背着双肩包就来了,从曼谷到这里,一刻没停,坐在马路牙子上通过各种通讯方式找住宿、找农场,心想如果没有工作那就环塔后再回悉尼。一直到日落隐现,微信群里有个叫Y的台湾女生对我所有问题知无不言,言无不尽,还主动提出开车带我挨家挨户问住宿。我心里特别感谢,可口头上不太会表达,我说:“等我赚了钱请你们吃好吃的啊!”

房东是七十多岁的夫妻俩,屋子里另外住了四个女生分别工作于蓝莓和树莓农场。我非常迫切的住下了,睡完十几个小时后已经是周六中午,烤了吐司、煎了蛋,配上水果和麦片,终于又可以慢悠悠吃早餐了。

双休日的活动基本就是吃、睡和散步。这里很安静,一眼望去全是平房,不需要仰头看风景,蓝天白云就在平视的远方。干净的街道,修剪的花园,我时常在门外的树下看书,直到太阳落到山后,有风来。

Resolution 2018 (Philip)

时间紧迫,简单整理一下 2017 年的总结以及 2018 年的计划。

2017 总结

Resolution 2017 (Philip)》中制定的目标完成得并不好。

1、 每月输出一篇工作文档

工作相关的博客完成了 10 篇,其中尝试写了两篇英文博客。即便是技术相关,写得也比较吃力。另外,下半年的工作也没有做到很好的提炼。

2、 完成一次日语 N2 等级考试

7 月份考了一次日语 N2,单项分都达标了,总分差得有点多…… I tried, but I failed.

日语学习笔记整理到初级第 10 单元后也中断了。2018 还要继续学日语,继续和日语死磕。

3、 阅读至少 30 本书

说来惭愧,今年只看了 8 本书(参见《2017 年讀過的書》),其中《Mastering Bitcoin》在看第二版并整理笔记中;《How Google Works》一直没啃完……整理了几篇书摘,都是在下半年完成的。嗯,下半年没写工作总结,都在整理书摘了。

另外,电影看得也没有去年多了,参见《2017 年看過的電影》。

4、 和 Linda 一起去一趟台湾

这是今年的家庭旅行计划,逆时针从花莲到高雄,走马观光地浏览了大半圈。Linda 整理了花莲、宜兰和台北部分:

曼谷跨年计划也即将开始,相隔半年后马上要和 Linda 见面了,内心充满了小激动。

5、 制作一档播客节目

11 月份和七喜录了一期关于个人数字信息安全的播客,在荔枝上线了。本来打算放到又拍云并生成 iTunes 格式的 RSS 订阅列表,但因为突发事件暂时搁置了。

2018 计划

1、每月输出一篇技术相关文档

明年要多用英文写点东西,还是从技术博客开始。

8 月份在 Coursera 上完成了一个加密相关课程,明年的后继课程也已经报名。这部分内容会尽快整理出笔记。

博客后台还有几篇关于比特币、字体、网络协议等内容的草稿,也要尽快扫清。

2、阅读至少 10 本书

去年没有听 Linda 的建议,把目标定得太高。这次务实一点,先给自己定一个小目标,先看它 10 本书……

3、完成两次雅思考试

一月和二月各报了一场,正在紧张地备考当中。时间非常紧迫,12 月初因为奶奶的事情占用了不少时间,白天还得上班,只能晚上和周末有大片的时间准备。

现在每天都非常焦虑,担心自己考不好,担心重蹈日语考试的覆辙。真心佩服那些考过十几场雅思的烤鸭们,希望一切付出都会有回报。

4、去澳洲和 Linda 过春节

作为明年家庭旅行计划的一部分,「去妳去过的地方,看妳看过的风景」。

目前签证和机票都已搞定,酒店和行程安排就靠小助手 Linda 了,哈哈哈哈。

希望 2018 年我们的生活能有所改变,可以离梦想更近一步。

以上。我们明年元旦见。

费马大定理(下)

本文为西蒙・辛格《费马大定理》的书摘,共分上下两篇:

  • 上篇:包含原书第一、第二章的内容。
  • 下篇:包含原书第三~第八章的内容。

数学史上暗淡的一页

莱昂哈德・欧拉(Leonhard Euler)1707 年生于瑞士巴塞尔,是基督教新教加尔文宗的牧师保罗・欧拉(Paul Euler)的儿子。莱昂哈德服从父亲的意愿在巴塞尔大学学习神学和希伯来语。幸运的是,巴塞尔城的伯努利(Bernoullis)家族的丹尼尔和尼古拉是莱昂哈德・欧拉的好友,他们向保罗・欧拉呼吁,请求他允许莱昂哈德放弃教士的职务而选择数学。老欧拉过去曾经向老伯努利(即雅各布・伯努利)学习过数学,对这个家族怀有特殊的敬意,便勉强地同意了。欧拉不久就离开瑞士,在俄国沙皇那里开始了他的专业生涯,随后应普鲁士的腓特烈大帝的邀请到了柏林科学院,最终他又回到俄国,当时正是俄国女皇叶卡捷琳娜二世统治期间,在那里他度过了最后的岁月。

欧拉最重要的成就之一是对理论计算方法的发展,欧拉的计算方法适合于处理那些看上去是不可能解决的问题。太阳、地球和月亮的轨道计算问题,就是所谓的「三体问题」,直到今天仍然不可能得到精确解。但欧拉发展了一种方法,可以得到一个不完全但充分准确的解。这种方法(算法)首先求出一个粗糙但尚能使用的结果,然后将它反馈回算法中再产生一个更为精细的结果。然后这个精细的结果再反馈回算法中产生一个更加准确的结果,如此反复进行,经过百次或更多的迭代以后,欧拉就能提供月球的位置,这个结果用于航海是足够准确的了。欧拉关于月球位置的计算是在他失明期间完成的。

柯尼斯堡桥游戏:普鲁士城市柯尼斯堡(Königsberg)现为俄罗斯的加里宁格勒市,这个城市建立在普雷格尔河边上,由 4 个分离的、被 7 座桥连接起来的地区组成,如下图所示:

问题是能否设计一次旅行,穿越所有的 7 座桥却无须重复走过任何一座桥?欧拉论证了这样的旅行是不可能的:为了进行一次成功的旅行(即通过所有的桥仅一次),一个点应该连接着偶数条线。这是因为在旅行中当旅行者通过一块陆地时,他必须沿一座桥进入,然后沿不同的桥离开,但有两个例外——开始或结束时。在旅行开始时,旅行者离开一块陆地,仅需一座桥给他离开;而在旅行结束时,旅行者到达一块陆地,也仅需一座桥给他进入。如果旅行开始和结束于不同的位置,那么这两块陆地可以允许有奇数座桥,但如果旅行开始和结束于同一个地方,那么这个点(与所有其他的点一样)必须有偶数座桥。总结来说:对于任何桥网络,如果所有的陆地块都有偶数座桥,或者恰好有两个陆地块有奇数座桥,那么才有可能越过每座桥仅一次的完全的旅行。在柯尼斯堡的情形中,4 块陆地都连接着奇数座桥,所以不可能穿越每一座仅一次。

欧拉进一步发现了一条所有的网络的基本定理,即所谓的网络公式:V + R – L = 1,其中 V 是网络中顶点(即交点)的个数,R 是网络中区域(即围成的部分)的个数,L 是网络中连线的个数。论证网络公式时,欧拉从最简单的网络即一个单一的点开始,V = 1,R = L = 0,公式显然成立。然后对这个单一的点扩充,就需要增加一条线。这条线可以将已有的顶点与自己连接,或者它可以将已有的顶点与另一个新的顶点连接。前一种情况:当增加一条线后,生成了一个新的区域,增加的区域抵消了增加的连线,网络公式仍然成立。以这种方式增加更多的连线也同样成立,因为每一条新的连线会制造一个新的区域。后一种情况:增加的线将原来的点与一个新的顶点连接,增加的顶点抵消了增加的连线,网络公式仍然成立。以这种方式增加更多的连线也同样成立,因为每一条新的连线会制造一个新的顶点。

在《算术》的另一个注记中,费马给出了费马大定理对于 4 次幂的证明,而欧拉在 1753 年给普鲁士数学家克里斯蒂安・哥德巴赫(Chritian Goldbach)的信中宣布,他采用费马的无穷递降法并引入虚数 i 的方法成功地证明了 3 次幂的情形。100 多年来,这是第一次有人针对费马的挑战成功地取得了进展。

根据让・勒隆・达朗贝尔(Jean le Rond d’Alembert)的建议,约瑟夫—路易・拉格朗日(Joseph-Louis Lagrange)接替欧拉成为腓特烈大帝宫廷中的数学家。欧拉回到了俄国,叶卡捷琳娜二世迎回了她的「数学的独眼巨人」。