费马大定理(上)

费马大定理》是西蒙・辛格的第一本书,相比《密码故事》来说,这本书的中译本虽然封面上把 Fermat 错误地拼写成 Fremat,正文中也有几处小错误,但瑕不掩瑜,全书整体的翻译质量好很多,尤其是将人名、地名等专有名词翻译出来的同时,还在括弧中保留了英文,可方便地据此搜索相关资料并延伸阅读。

本文为西蒙・辛格《费马大定理》的书摘,共分上下两篇:

  • 上篇:包含原书第一、第二章的内容。
  • 下篇:包含原书第三~第八章的内容。

我想我就在这里结束

1993 年 6 月 23 日,英国剑桥大学牛顿研究所,安德鲁・怀尔斯(Andrew Wiles)向全世界最杰出的数学家讲述他对费马大定理(Fermat’s Last Theorem)的解法。剑桥正是怀尔斯是家乡,这里是他出生成长的地方。他在 20 世纪 80 年代移民到美国,在普林斯顿大学任教授。这次牛顿研究所举行的研讨会的题目是「L-函数和算术」,只有怀尔斯意识到 L-函数可能握有解决费马大定理的钥匙。

1963 年,10 岁的安德鲁・怀尔斯在弥尔顿路上的图书馆发现了埃里克・坦普尔・贝尔(Eric Temple Bell)写的《大问题》(The Last Problem),其中讲述了费马大定理的起源及形成,由此迷上了费马大定理,立志要解决它。

费马大定理立足于毕达哥拉斯(Pythagoras)定理:

在一个直角三角形中,斜边的平方等于两直角边的平方之和。

萨摩斯岛(Samos)的毕达哥拉斯是数学史上最具影响但又是最神秘的人物之一。他研究了一些特殊的数的性质、它们之间的关系以及它们的组成方式。他生活在公元前 6 世纪,游历时从埃及人和巴比伦人那里学到了许多数学技能和工具。这两个古老的民族当时已经超越了简单计数的范围而能够进行复杂的计算,这使他们能建立复杂的记账系统和建造独具匠心的建筑物,但他们将数学看成仅仅是解决实际问题的一种工具,而没有人会费神去寻求隐藏在背后的逻辑。

经历 20 年的周游后,毕达哥拉斯回到爱琴海中的萨摩斯岛,想要建立一所学校致力于哲学研究,特别是研究他新近获得的一些数学法则。但僭王波利克拉特斯(Polycrates)在毕达哥拉斯外出期间已将曾经自由的萨摩斯岛变成了一个不容异说的保守的社会,并邀请毕达哥拉斯加入宫廷,但遭到毕达哥拉斯的拒绝。毕达哥拉斯离开了城市,选择了岛上边远地区的一个山洞。他花钱使一个小男孩成为他的第一名学生,这名学生根据有些历史学家的观点可能也叫毕达哥拉斯。这名学生后来是第一个建议运动员应该吃肉以增强自己体质的人,并因此而出名。学生每出席一节课,老师要付给他 3 个小银币。几个星期后,学生最初对学习的勉强已转变成对知识的热情,即使毕达哥拉斯佯装付不起金钱无法继续上课时,学生也表示宁可付钱受教育。遗憾的是,这是毕达哥拉斯在萨摩斯岛上仅有的一个信徒。

由于毕达哥拉斯关于社会改革的观点不受欢迎,他被迫离开萨摩斯岛,来到意大利南部的克罗敦(Groton),并在米洛(Milo)的赞助下建立了毕达哥拉斯兄弟会——一个有 600 名追随者的帮会。一旦参加兄弟会后,每个成员就必须将其一切财产捐献给公共基金,如果离开该会,可收到相当于他们最初捐献的两倍的财产,并为其竖立一场墓碑以志纪念。兄弟会的每个成员被迫宣誓永不向外界泄露他们的任何数学发现,甚至在毕达哥拉斯死后,还有一个兄弟会成员因为公开宣布发现一种由 12 个正五边形构成的正十二面体而被淹死。兄弟会奉行平等主义,吸收了几名姐妹。毕达哥拉斯最喜欢的学生是米洛的女儿,美丽的西诺(Theano),两人最终结婚了。建立兄弟会后不久,毕达哥拉斯撰造了一个名词「哲学家」(philosopher),定义为「献身于发现生活本身的意义和目的的人」。

毕达哥拉斯缔造了一种社会精神,它改变了数学的进程。兄弟会实际上是一个宗教性社团组织,他们崇拜的偶像之一是数,他们相信,通过了解数与数之间的关系,他们能够提示宇宙的神圣的秘密,使他们自己更接近神。

完满数:数的完满取决于它的因数(包括 1)。当一个数的各因数之和大于该数本身时,该数称为「盈数」;当一个数的因数之和小于该数本身时,该数称为「亏数」。最有意义和最少见的是那些其因数之和恰好等于其本身的数,称为「完满数」。6 和 28 都是完满数,这不仅对兄弟会来说具有数学上的意义,从事别的文化的人也确认它们的完满,有人观察到月亮每 28 天绕地球一圈,有人声称上帝用了 6 天创造世界。

当自然数变大时,完满数变得难于寻找。接下来几个完满数分别是:496、8128、33550336、8589869056。完满数还有另外几个美妙的性质。比如,完满数总等于一系列相邻的自然数之和:

  • 6 = 1 + 2 + 3
  • 28 = 1 + 2 + 3 + … + 6 + 7
  • 496 = 1 + 2 + 3 + … + 30 + 31
  • 8128 = 1 + 2 + 3 + … + 126 + 127

完满性与「倍 2 性」之间的关系:所有 2 的幂数的因数之和总是比它们本身小 1,它们只是微亏:

  • $2 ^ 2 = 4$,因数之和 1 + 2 = 3
  • $2 ^ 3 = 8$,因数之和 1 + 2 + 4 = 7
  • $2 ^ 4 = 16$,因数之和 1 + 2 + 4 + 8 = 15
  • $2 ^ 5 = 32$,因数之和 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31

两个世纪之后,欧几里得(Euclid)发现完满数总是两个数的乘积,其中一个数是 2 的幂,而另一个数则是下一个 2 的幂减去 1,也就是说:

  • $6 = 2 ^ 1 \times (2 ^ 2 - 1)$
  • $28 = 2 ^ 2 \times (2 ^ 3 - 1)$
  • $496 = 2 ^ 4 \times (2 ^ 5 - 1)$
  • $8128 = 2 ^ 6 \times (2 ^ 7 - 1)$

当代的计算机继续搜索完满数,发现了像 $2 ^ {216090} \times (2 ^ {216091} - 1)$ 这样巨大的数(一个 130000 位以上的数)仍然符合欧几里得法则。但似乎不存在微盈的数。2500 年后数学家们仍然未能证明微盈数不存在。

毕达哥拉斯认识到自然现象是由规律支配的,这些规律可以用数学方程式来描述。首先发现的联系之一是音乐的和声与数的调和之间的基本关系。单单拨弦会产生一个标准音,它是由那根振动着的弦的整个长度产生的。在弦上恰为一半处固定弦,再拨弦会产生一个与原来的音和谐的高八度的音。类似地,在弦上恰为 1/3、1/4 或 15 处固定弦,就会产生其他的和音。但在整个弦的非简分数处固定弦,产生的音是不会与上述这些音和谐的。

从这个发现之后,科学家们一直在探究那些似乎支配着各个物理过程的数学法则。例如,剑桥大学的地球科学家汉斯—亨利克・斯多勒姆(Hans-Henrik Stolum)教授发现从河源头到河出口之间河流的实际长度与它们的直接距离之比,接近于数 π 的值。毕达哥拉斯意识到从音乐的和声到行星的轨道,一切事物中皆藏有数,这导致他宣布「凡物皆数」(Everything is number)

毕达哥拉斯定理对每一个任意的直角三角形都成立。中国人和巴比伦人虽然使用这个定理要早 1000 年,但他们仅在有限的三角形中测试过此定理成立。而这个定理归属于毕达哥拉斯的理由是他第一个证明了它的普遍正确。

数学证明:经典的数学证明的办法是从一系列公理、陈述出发,这些陈述有些可以是假定为真的,有些则是显然真的;然后通过逻辑论证,一步接一步,最后就可能得到某个结论。如果公理是正确的,逻辑也无缺陷,那么得到的结论将是不可否定的,这个结论就是一个公理。数学证明依靠这个逻辑过程,而且一经证明就永远是对的。数学证明是绝对的。而科学证明则永远不可能达到数学证明所具有的绝对程度。在科学中,一个假设被提出来用以解释某一物理现象。如果对物理现象的观察结果与这个假设相符,这就成为这个假设成立的证据。进一步,这个假设应该不仅能描述已知的现象,而且能预言其他现象的结果。可以做实验来测试这个假设的预言能力,如果它再次继续成功,那么就有更多的证据支持这个假设。最终,证据的数量可能达到压倒性的程度,于是这个假设被接受为一个科学理论。

对物质的基本粒子的探索可以很好地说明这一过程:

  • 19 世纪初,一系列的实验引导约翰・道尔顿(John Dalton)提出万物都是由分离的原子组成的,原子是基本的。
  • 19 世纪末,J. J. 汤姆生(J. J. Thomson)发现了电子(最早知道的亚原子),于是原子不再是基本的。
  • 20 世纪早期,物理学家拍摄到了原子的「全家」照——一个由质子和中子组成的原子核,电子围绕着它运行。质子、中子和电子被荣耀地宣称为组成宇宙万物的全部基本粒子。
  • 之后,宇宙射线实验显示了别的基本粒子——π 介子和 μ 介子的存在。
  • 1932 年,反质子、反中子、反电子等反物质的发现,一场更伟大的革命发生了。
  • 20 世纪 60 年代,诞生了夸克的概念,质子等由分数电荷的夸克组成。
  • 把粒子作为点样对象的观念甚至可能被称为「弦」的粒子观念所替代。长度为 1 米的 10 亿分之一的 10 亿分之一的 10 亿分之一的 10 亿分之一的弦(如此小,结果它们似乎是点样的)能以不同的方式振动,每种振动产生特定的粒子。

缺损棋盘问题:有一张移走两个对角方块的棋盘,只剩下 62 个方块。现在取 31 张多米诺骨牌,每一张骨牌恰好能覆盖住 2 个方块。问题:是否可能将这 31 张多米诺骨牌摆得使它们覆盖住棋盘上的 62 个方块?

数学的论证方法如下:

  • 棋盘上被移去的两个角都是白色的,于是现在有 32 个黑方块而只有 30 个白方块。
  • 每块多米诺骨牌覆盖 2 个相邻的方块,而相邻方块的颜色总是不同的,即 1 块黑色和 1 块白色。
  • 于是,不管如何摆骨牌,最先放在棋盘上的 30 张多米诺骨牌必定覆盖 30 个白色方块和 30 个黑色方块。
  • 结果,总是剩下 1 张多米诺骨牌和 2 个剩下的黑色方块。
  • 但是,由于每张多米诺骨牌只能覆盖 2 个相邻的方块,而相邻方块的颜色是不同的。而剩下的 2 个方块颜色是相同的,所以它们不可能被剩下的 1 张多米诺骨牌覆盖。于是,覆盖这棋盘是不可能的!

毕达哥拉斯定理的证明:有任意的直角三角形,其三角边分别用 x、y 和 z 表示。由此直角三角形构造右边的大正方形:

大正方形的面积有两种计算方法:

  • 由大正方形的边长计算得出: $(x + y)^2$
  • 由 4 个小三角形和中间的小正方形的面积之和得出:$4 (\frac{1}{2}xy) + z^2$

由此得出 $(x + y)^2 = 4 (\frac{1}{2}xy) + z^2$,整理简化后得到 $x^2 + y^2 = z^2$。

毕达哥拉斯向人们展示了数学的真理可以应用于科学世界并为其提供逻辑基础。数学赋予科学一个严密的开端,在这个绝对不会出错的基础上科学家再添加上不精确的测量和有缺陷的观察。

毕达哥拉斯兄弟会采用证明的方法积极地寻求真理,使得数学活跃起来。他们成功的消息广为流传,许多人请求进入这个神秘的知识圣殿,但是只有最杰出的智者才被接纳,被拒绝的人中有一个名叫西隆(Cylon)的人,在 20 年后进行了报复。一场战争结束后,人们担忧作为战利品的土地会交给毕达哥拉斯的精英们而开始抱怨起来。西隆利用了下层民众畏惧、妄想和嫉妒的心理,诱使他们去毁灭这个当时世界上最辉煌的数学学派。米洛的家和毗邻的学校被包围起来,所有的门都被锁上和闩上以防有人逃走,然后燃烧开始。米洛从这个地狱中杀出一条血路逃了出去,但毕达哥拉斯和他的许多信徒被杀死了。兄弟会剩下的成员被迫离开克罗敦到希腊的其他城市甚至不得不移居国外,这种被迫的迁徙促进了毕达哥拉斯的信徒们在这个古老的世界中传播他们的数学真理。他们建立了新的学校,给学生们传授数学逻辑的方法。

出谜的人

皮埃尔・德・费马(Pierre de Fermat)1601 年 8 月 20 日出生于法国西南部的博蒙—德—罗马涅(Beaumont-de-Lomagen)镇,因父亲是富有的皮革商,有幸进入格兰塞尔夫(Grandselve)的方济各会修道院受教育,随后因家庭的压力而走上文职官员的生涯。费马在文职官员的职位上晋升很快,成了一名社会杰出人物,使他有资格用德(de)作为他的姓氏的一部分。他的升职一部分是因为他从法国鼠疫蔓延中幸存而填补了死亡者的空缺(他在 1652 年也感染了严重的鼠疫),一部分是因为在红衣主教黎塞留(Richelieu)晋升为法国首相后的充满阴谋和诡计的时代,费马采取有效履行职责从而不把人们的注意力引向自己的策略,而尽力避开议会中的混战。

费马将自己剩下的精力全都献给了数学。费马是一个真正的业余学者,一个被埃里克・贝尔称为「业余数学家之王」的人,但他的才华如此出众,以至于在朱利安・库利奇(Julian Coolidge)的《业余大数学家的数学》(Mathematics of Great Amateurs)中将费马排除在外,理由是他「那么杰出,他应该算作专业数学家」。17 世纪的数学还正在从中世纪的黑暗中恢复过来而不很受重视,数学家也不很受尊重,许多人不得不为自己的研究工作筹款,比如伽利略(Galileo)无法在比萨大学研究数学而被迫去寻找当私人教授的工作。当时欧洲只有牛津大学积极赞助数学家并于 1619 年设立萨维尔几何学教授的职位。可以说,大多数 17 世纪的数学家都是业余的,但费马是其中最突出的一个,他孤立于巴黎的数学家小圈子之外。

马林・梅森尼神父(Father Marin Mersenne)与当时巴黎的数学家对自己的研究成果保密的习惯展开斗争,他试图鼓励数学家们交流他们的思想,互相促进各自的工作。他安排定期的会议,其小组后来形成了法兰西学院的核心。虽然他将其他人的信件和文章公开,并以交流信息对数学家和人类有好处为理由来辩解,但他为伽利略和笛卡尔受到神学方面的打击辩护,在一个被宗教和巫术主宰的时代,梅森尼坚持了理性的思想。梅森尼在法国各地旅行并传播有关最新发现的消息,不时地会见费马,他似乎是仅有的一个与费马定期接触的数学家。梅森尼对费马的影响大概仅次于《算术》(Arithmetica)——一直伴随着费马的一本古希腊传下来的数学专著。

费马与帕斯卡的通信是除了梅森尼以外费马与别人讨论想法的仅有的一次,它涉及一门全新的数学分支——概率论的创立。在 17 世纪之前,概率大小的规律是赌徒们根据直觉和经验来确定的,而帕斯卡和费马相互通信的目的则在于发现能更准确地描述机会规律的数学法则。三个世纪后,伯特兰・罗素对这种明显的矛盾评论说:「我们怎么可以谈论机会的规律呢?机会不正是规律的对立面吗?」

最违背直觉的概率问题之一是关于共有生日的可能性问题(Birthday problem。在 23 个人中至少有两个人有相同的生日的概率刚好超过 50%,因为将人们配成一对对的方式的总数总是大于人的总数,23 个人两两组合共有 $C_{23}^{2}$ 即 $\frac{23 \times 22}{2} = 253$ 种配对。每一个配对中的两个人在同一天生日的概率(假设一年 365 天,不考虑闰年)是 $\frac{1}{365}$,而这两个人不在同一天生日的概率是 $1-\frac{1}{365}$,所有配对情况都不在同一天生日的概率是 $(1 - \frac{1}{365})^{253}$,由此得出至少有一个配对的两个人在同一天生日的概率是 $1 - (1 - \frac{1}{365})^{253} \approx 50.0477\%$,刚好超过 50%。

费马还在微积分的建立中做出了很大贡献。微积分是计算一个量关于另一个量的变化率(称为导数)的工具。经济学是深受微积分影响的一门学科。通货膨胀率是价格的变化率,称为价格的导数;经济学家常常研究通货膨胀率的变化率,称为价格的二阶导数。数学家雨果・罗西(Hugo Rossi)曾注意到:「在 1972 年秋天,尼克松总统宣布通货膨胀率的增长率正在下降。这是第一次一个当任总统使用一个三阶导数来推进他的连任活动。」几个世纪来,一直都认为是艾萨克・牛顿独立发明了微积分,而不知晓费马的工作。但在 1934 年,路易斯・特伦查德・穆尔(Louis Trenchard Moore)发现了一个注记,记录了历史的真实,并恢复了费马应得的荣誉。牛顿写道,他在「费马先生的画切线的方法」的基础上发展了他的微积分。

数论的演变

公元前 332 年,已经征服了希腊、小亚细亚和埃及的亚历山大大帝(Alexander the Great)决定建造世界上最宏伟的都城,而在亚历山大大帝死后,他同父异母的兄弟托勒密一世(Ptolemy I)登上埃及王位后,亚历山大城成为世界上破天荒第一所大学的所在地。迪米特里厄斯・法拉留斯(Demetrius Phalareus)劝说托勒密一世建造亚历山大图书馆,把所有重要的图书收集起来,使他相信优秀的人、有才智的人会随之而来。埃及和希腊的大卷书籍安置好后,王朝就迅速派出人员走遍欧洲和小亚细亚搜集更多的学术著作,甚至到亚历山大城来的旅游者携带的书籍也被没收并交给抄写员,书被复制后,原书捐赠给图书馆的同时,复制本交给原主。这种复制服务给今天的历史学家们带来某种希望——遗失了的珍贵版本也许有一天会出现在世界上某处的一个阁楼上。1906 年 J. L. 海伯格(J. L. Heiberg)在君士坦丁堡就发现过一份手稿《方法论》(The Method),它记载有阿基米德(Archimedes)的某些原著。

亚历山大最著名的数学家是欧几里得(Euclid),生于公元前 330 年左右。与毕达哥拉斯一样,欧几里得只是为数学本身而探求数学真理,并不寻求应用。有这样一个故事:有个学生问欧几里得他正在学习的数学有什么用处,讲课结束后,欧几里得就转身向他的奴仆说:「给这个孩子一个硬币,因为他想在学习中获得实利。」然后这个学生就被驱逐了。欧几里得一生的大量时间花在撰写《几何原本》(Elements)这本有史以来最成功的 13 卷教科书上。欧几里得娴熟地在《几何原本》中使用当时数学家们发明的许多可以应用于不同场合的逻辑推理方法,尤其是「反证法」。英国数学家 G. H. 哈代在他的《一个数学家的自白》中概括了反证法的精髓:「欧几里得如此深爱的反证法是数学家最精妙的武器之一。它是比任何弈法更为精妙的弃子取胜法:棋手可能牺牲一只卒子甚至更大的棋子以取胜,而数学家则牺牲整个棋局。」

欧几里得最著名的反证法是确立了「无理数」的存在。有人怀疑无理数最初是毕达哥拉斯兄弟会在几个世纪前发明的,有个故事说,一个名叫希帕索斯(Hippasus)的年轻学生发现 $\sqrt{2}$ 这个无理数的存在,但毕达哥拉斯已经用有理数解释了天地万物,无理数的存在会引起对他的信念的怀疑,但他不愿意承认自己是错的,同时又无法借助逻辑推理的力量来推翻希帕索斯的论证,于是判决将希帕索斯淹死。毕达哥拉斯对无理数的否认是他最不名誉的行为,也可能是希腊数学最大的悲剧。

$\sqrt{2}$ 是无理数的欧几里得证明:使用反证法,假设 $\sqrt{2}$ 是有理数,于是可以写成某个未知的分数,用 $p / q$ 表示,其中 p 和 q 是两个整数,也就是说 $\sqrt{2} = p / q$,将两边平方得到 $2 = p^2 / q^2$,重新整理得到 $2q^2 = p^2$。所以 $p^2$ 必定是偶数,而 p 本身也是偶数,那么它可以写成 2m,其中 m 是另一个整数。将此代回到等式中,得到 $2q^2 = (2m)^2 = 4m^2$,用 2 除两边得到 $q^2 = 2m^2$,由此同样可得出 $q^2$ 是偶数,且 q 本身也是偶数,q 也可以写成 2n,其中 n 是另一个整数。此时回到开始的等式,可以得到 $\sqrt{2} = p / q = 2m / 2n$,简化得到 $\sqrt{2} = m / n$,现在得到一个分数 $m / n$,它比 $p / q$ 简单。然而,我们发现对 $m / n$ 可以精确地重复以上同一个过程,简化过程永远不会结束。但一个分数不可能永远简化下去,总是必须有一个最简分数存在,产生矛盾,因此 $\sqrt{2}$ 不能写成某个分数,于是 $\sqrt{2}$ 是一个无理数。

在数论方面编纂了有同样价值教科书的数学家是亚历山大的丢番图(Diophantus),他是希腊数学传统的最后一位卫士。他在亚历山大的生涯是在收集易于理解的问题以及创造新的问题中度过的,他将它们全部汇集成 13 卷的《算术》,其中只有 6 卷逃过了欧洲中世纪黑暗时代的骚乱幸存下来,继续激励着文艺复兴时期的数学家们,包括费马在内。

公元 47 年,当时罗马的凯撒大帝(Julius Caesar)企图推翻克娄巴特拉(Cleopatra),放火焚烧了亚历山大舰队,位于港湾附近的图书馆也被累及,上万册图书被毁坏。克娄巴特拉重建并重新充实亚历山大图书馆时,将它放在塞拉皮斯(Serapis)神庙之内。而罗马统帅马克・安东尼(Mark Antony)认识到图书馆是通向知识心脏的途径,因而进军古希腊城市帕加马城,并将城中兴建的图书馆中的全部藏书都转移到埃及,恢复了亚历山大的最高地位。公元 389 年,基督教皇帝狄奥多西(Theodosius)命令亚历山大的主教狄奥菲卢斯(Theophilus)毁坏一切异教的纪念物,对圣坛和圣像的破坏也殃及了神庙内的图书馆。公元 642 年,一场伊斯兰教的进攻成功地打败了基督教徒。当问及应该如何处置图书馆时,获胜的哈里发奥马尔(Caliph Omar)命令凡是违反《古兰经》的书籍都应销毁,而那些与《古兰经》相符的书籍则是多余的,也必须销毁。那些手稿被用作公共浴室加热炉的燃料,希腊的数学化为烟灰。《算术》的其中 6 卷能逃过亚历山大的这场惨剧真是一个奇迹。

随后的一千年中,西方的数学处于停滞状态,只有少数的印度和阿拉伯的杰出人物使这门学科继续生存下去,他们给数学增添了新的成分,包括零这个数。在此之前,零仅用以在别的数之间起空位作用。而印度人认识到零独立的存在性——零本身理所当然地是一个数,它表示「没有」这个量。于是,「没有」这个抽象概念第一次被赋予一个有形的记号表示。所有古希腊哲学家,包括亚里士多德(Aristotle),都否认零这个记号的深刻意义。亚里士多德辩解说,数零应该是非法的,因为它破坏了其他数的一致性——用零除任何一个普通的数会导致不可理解的结果。到了公元 7 世纪,足智多谋的印度数学家婆罗门笈多(Brahmagupta)把「用零除」作为无穷大的定义。印度人和阿拉伯人还用现在已被普遍采用的记数系统(阿拉伯数字)替代了原始的希腊符号和累赘的罗马数字。公元 10 世纪时,奥里亚克的法国学者热贝尔(Gerbert)从西班牙的摩尔人那里学会了新的记数系统,通过他在遍布欧洲的教堂和学校中的教师职位,将这种新的系统介绍给西方。

公元 1453 年,土耳其人攻占并洗劫了君士坦丁堡,拜占庭帝国的学者们携带着他们能保存的所有书籍向西方潜逃,躲过了恺撒、狄奥菲卢斯主教、哈里发奥马尔以及这一次土耳其人的劫难之后,几卷珍贵的《算术》终于回归欧洲。

费马得到的《算术》是梅齐里克(Méziriac)的克劳德・加斯帕・贝切特(Claude Gaspar Bachet de Méziriac)完成的拉丁文译本。贝切特的第一本出版物《数字的趣味故事》中一个关于砝码的问题:最少需要多少个砝码,可以在一台天平上称出从 1 千克到 40 千克之间的任何整数千克的重量?利用将砝码放在两个秤盘里使得砝码也可与要称重的物体放在一起称的方法,贝切特可以只用 4 个砝码 1、3、9、27 千克就可以完成任务:

  • 1 千克 = 1
  • 2 千克 = 3 - 1
  • 3 千克 = 3
  • 4 千克 = 3 + 1
  • 5 千克 = 9 - 3 - 1
  • ……
  • 40 千克 = 27 + 9 + 3 + 1

《算术》中载有 100 多个问题,丢番图对每个问题都给出了详细的解答,但这从来不是费马的习惯。在研究丢番图的问题和解答时,费马会受到激励去思索和解决一些其他相关的、更微妙的问题。费马会草草写下一些必要的东西证明他已明白解法,然后就不再费神写出证明的剩余部分。他往往会把他充满灵气的注记丢进垃圾箱中,然后匆忙地转向下一个问题。幸运的是,有时费马会匆忙地在《算术》的书边空白上写下推理和评注,这成了费马最杰出的一些计算的非常宝贵的记录。

费马发现了所谓的「亲和数」(friendly numbers,amicable number):一对数中,每个数是另一个数的因数之和。毕达哥拉斯学派曾经发现,220 和 284 是一对亲和数。这对数被认为是友谊的象征。马丁・加德纳(Martin Gardner,就是那个向读者提出 RSA-129 质因数分解挑战而奖金只有 100 美元的马丁・加德纳)在《数学魔术》(Mathematical Magic Show)中谈到过中世纪出售的一种护身符上刻有这两个数字,寓意促进爱情。有一种习俗,在两个苹果上分别刻下 220 和 284,再分别由情侣两人吃下。有个阿拉伯数字占卦家将此作为数学催欲剂记录备案。早期神学家注意到在《创世记》中雅各给以扫 220 只山羊,他们相信山羊的数目(一对亲和数中的一个)表达了雅各对以扫的挚爱之情。直到 1636 年费马发现 17296 和 18416 这对数之前,尚未有别的亲和数被确认。费马掀起了一阵寻找亲和数的热潮。笛卡尔发现了第 3 对(9363584 和 9437056),欧拉接着列举了 62 对亲和数。奇怪的是他们都忽略了一对小得多的亲和数。1866 年,60 岁的意大利人尼科洛・帕格尼尼(Nicolò Paganini)发现了这一对亲和数 1184 和 1210。20 世纪,数学家们把这个思想推广到「可交往数」(sociable number),即由 3 个或更多的数形成的一个闭循环的数。例如,五元数组(12496,14288,15472,14536,14264),第一个数的因数之和等于第二个数,第二个数的因数之和等于第三个数,依此类推,第五个数的因数之和等于第一个数。

费马注意到 26 被夹在一个平方数 25($5 ^ 2$)和一个立方数 27($3 ^ 3$)之间,并论证了 26 是唯一满足此条件的数。他向数学界发起挑战,但与他有书信来往的英国数学家约翰・沃利斯(John Wallis)和凯内尔姆・迪格比爵士(Sir Kenelm Digby)最终不得不承认失败。

1637 年左右,费马在研究《算术》第 2 卷中毕达哥拉斯定理和毕达哥拉斯三元组时,将二次幂扩展到三次幂甚至更高次幂,发现都没有解。费马在书页边记下他的结论:

不可能将一个立方数写成两个立方数之和;或者将一个 4 次幂写成两个 4 次幂之和;或者,总的来说,不可能将高于 2 次的幂写成两个同样次幂的和。

而这个评注的最后一句话,使得一代又一代的数学家们为之苦恼:

我有一个对这个命题的十分美妙的证明,这里空白太小,写不下。

1665 年,费马因病去世后,他的长子克来孟—塞缪尔(Clément-Samuel)花了 5 年时间收集整理他的注记和信件,将那些注记在《算术》的一种特殊版本中发表,题为《附有 P. 德・费马的评注的丢番图的算术》,下图中 Observatio Domini Petri de Fermat 一段就是后来称为费马大定理的那个评注:

所有的质数(除 2 外)可以分成两类,一类等于 4n + 1,另一类等于 4n - 1,其中 n 等于某个整数。费马的质数定理断言,第一类的质数总是两个平方数之和,而第二类质数永远不能写成这种形式。18 世纪最伟大的数学家莱昂哈德・欧拉(Leonhard Euler)经过 7 年的工作,于 1749 年成功地证明了这个质数定理。

随着几个世纪时光的流逝,费马的其他评注一个接一个地被证明,但费马大定理却固执地拒绝被如此轻易地征服。费马大定理之所以被称为「最后」定理(Fermat’s Last Theorem)是因为它是需要被证明的评注中的最后一个。

以上。

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